গোলকের কেন্দ্র থেকে h দূরত্বে তলচ্ছেদে উ’পন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? (ব্যাসার্ধ=r)

ব্যাখ্যাঃ একটি গোলককে যখন একটি সমতল দ্বারা ছেদ করা হয়, তখন ছেদবিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে। এই বৃত্তকে তলচ্ছেদ (cross-section) দ্বারা উৎপন্ন বৃত্ত বলা হয়। ধরি,

    
• গোলকের ব্যাসার্ধ = \(r\)
    
• গোলকের কেন্দ্র থেকে ছেদকারী সমতলের দূরত্ব = \(h\)
    
• তলচ্ছেদ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = \(x\)

আমরা যদি গোলকের কেন্দ্র, সমতলের কেন্দ্র (যেটি উৎপন্ন বৃত্তের কেন্দ্র), এবং উৎপন্ন বৃত্তের পরিধির যেকোনো একটি বিন্দু বিবেচনা করি, তাহলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। এই সমকোণী ত্রিভুজে:

    
• গোলকের ব্যাসার্ধ \(r\) হলো অতিভুজ (hypotenuse)।
    
• গোলকের কেন্দ্র থেকে সমতলের দূরত্ব \(h\) হলো একটি বাহু।
    
• তলচ্ছেদ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(x\) হলো অপর বাহু।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: \(r^2 = h^2 + x^2\) আমাদেরকে তলচ্ছেদ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(x\) বের করতে হবে। সমীকরণটি \(x\) এর জন্য সমাধান করলে পাই:
\(x^2 = r^2 - h^2\)
\(x = \sqrt{r^2 - h^2}\) এই সূত্রটি ব্যবহার করে তলচ্ছেদ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যায়, যেখানে \(r \geq h\) হতে হবে যাতে একটি বাস্তব বৃত্ত উৎপন্ন হয়। প্রদত্ত অপশনগুলো হলো: 1. \(\sqrt{h^2 - r^2}\) 2. \(\sqrt{h^2 + r^2}\) 3. \(\sqrt{r^2 + h^2}\) 4. \(\sqrt{r^2 + h^2}\) পর্যবেক্ষণ করে দেখা যাচ্ছে যে, আমাদের নির্ণীত সঠিক সূত্র (\(\sqrt{r^2 - h^2}\)) কোনো অপশনেই দেওয়া নেই। অপশন 1 ভুল ক্রমে রয়েছে এবং বাকি অপশনগুলো যোগফল নির্দেশ করছে যা ভুল।
প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী, উপরের ব্যাখ্যা অনুযায়ী সঠিক উত্তরটি হলো \(\sqrt{r^2 - h^2}\)। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে এই উত্তরটি নেই। তাই, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে কোনোটিই সঠিক নয়।